Problema con hp stream laptop 14.. se apaga sola sin mensaje de error

[Esther84]

¡Hola!
Tengo un Hp Stream laptop 14 ax0xx, 4gb de ram y con windows 10 de 64 bits. El problema es el siguiente: hace unos días al encender el portátil la pantalla se quedó en negro y solo veía al cabo de unos segundos el cursor del ratón, pero nada más. Se solucionó reiniciando varias veces, y parecía que todo iba correctamente. Hace un par de días cuando usaba el ordenador se me apagó solo...y así sin parar. Enciende, arranca windows perfectamente, meto el pin y de pronto se apaga.
No aparece ningún tipo de mensaje de error.
He desconectado la wifi y aguanta unos minutos más antes de apagarse sola... desinstalé el Avast (no es la primera vez que me da problemas en otros ordenadores) y sigue igual.
No puedo hacer recovery porque avisa de que no tiene espacio. He desinstalado todo lo posible pero sigue sin espacio. Ya quité office y Chrome también.
Si toco las teclas: control, alt, bloq mayus o alt gr también se apaga directamente.
La compré en Junio de este año, sigue en garantía.
Un saludo, espero vuestra ayuda.
¡Muchas gracias!

[Esther84]

Actualizo: con un teclado inalámbrico sí deja tocar esas teclas. Hemos conseguido pasar por usb un antimalware y no encontró nada.
Buscando desde el CMD en la unidad c: tampoco aparece nada malicioso.
Seguimos intentando restaurar pero no tiene espacio.
Sigue apagándose cuando le da la gana. Sin mensaje de error. Si usamos el teclado del portátil se apaga inmediatamente... con el inalámbrico no.